Symulacje numeryczne rozwiązań równania falowego, Studia, Metody numeryczne
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA
W
C
HEŁMIE
Instytut Matematyki i Informatyki
Kierunek:
Matematyka
Specjalność
:
Matematyka z informatyką
Łukasz Rękas
Nr albumu 1918
Symulacje numeryczne rozwiązań
równania falowego
Praca dyplomowa
napisana pod kierunkiem
prof. dr hab. Krzysztof
Murawski
Chełm 2008
2
Oświadczenie o autorstwie pracy
Oświadczam, że niniejszą pracę przygotowałem samodzielnie.
Wszystkie dane, definicje, wzory i sformułowania pochodzące z literatury są opatrzone
odpowiednimi odsyłaczami. Praca przedłożona do oceny nie była dotychczas publikowana
w żadnej formie.
Imię i nazwisko autora pracy
……………………………………………
(data i podpis autora pracy)
3
Spis treści
1. Wstęp..............................................................................................................................4
2. Cel i zakres pracy.........................................................................................................5
3. Równania różniczkowe zwyczajne...............................................................................6
3.1
Klasyfikacja równań różniczkowych.......................................................................6
3.2
Równanie różniczkowe zwyczajne (pierwszego rzędu)
..........................................7
4. Równania różniczkowe cząstkowe...............................................................................9
4.1 Wiadomości ogólne i klasyfikacja równań..............................................................9
4.2 Rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego.............................................11
5. Równania falowe..........................................................................................................13
5.1 Równanie falowe w jednym wymiarze..................................................................14
5.2 Równanie falowe w dwóch wymiarach.................................................................17
6. Symulacje numeryczne................................................................................................22
6.1 Równanie falowe numerycznie.............................................................................23
7. Projekt własny – program napisany w języku IDL....................................................27
8. Podsumowanie (wnioski końcowe)............................................................................34
9. Literatura...................................................................................................................35
4
1.
Wstęp
Rola matematyki w innych dziedzinach nauki jest nieoceniona. Jak każdy zapewne
wie matematyka jest matką wszystkich nauk (w szczególności nauk fizycznych
i technicznych). Już wiele lat temu zdano sobie z tego sprawę. Dowodem mogą być słowa
niemieckiego filozofa, który żył w latach 1724-1804. Immanuel Kant pisał : „ w każdej
dziedzinie wiedzy o świecie jest tyle prawdziwej wiedzy, ile jest w niej matematyki ”.
Inny przykładem może być żyjący jeszcze wcześniej angielski filozof Franciszek Bacon
(1561-1626), który pisał : „ Istnieje w naturze wiele zagadnień, których nie można ani
dostrzec z wystarczającą dokładnością , ani przedstawić dostatecznie jasno , ani
wykorzystać dostatecznie zręcznie bez pomocy i interwencji matematyki ”. Z tego
względu matematyka stanowi potężne narzędzie pracy badawczej fizyków i techników.
1
Wiele praw przyrody można przedstawić za pomocą równań różniczkowych. Jednym
z tych praw są właśnie równania falowe. W rzeczywistości równania różniczkowe są
najczęstszym i najskuteczniejszym narzędziem przy formułowaniu tych praw. Równania
falowe opisują zjawiska powszechnie występujące w przyrodzie ja na przykład fale na
morzu, fala dźwiękowa czy rozchodzące się fale na skutek wrzucenie ciężkiego
przedmiotu na tafle wody.
2
Równanie falowe jest równaniem różniczkowym cząstkowym.
W przypadku jednej zmiennej przestrzennej (tzw. równanie w jednym wymiarze) jest to
drgająca struna. Dwuwymiarowe równanie falowe opisuje drganie membrany. Natomiast
trójwymiarowe równanie falowe opisuje drganie sprężystej bryły sztywnej.
1
W. Żakowski, W. Leksiński ,
Matematyka IV ,
Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa 1995
2
Donald A. McQuariie ,
Matematyka dla przyrodników i inżynierów
, PWN, Warszawa 2005
5
2.
Cel i zakres pracy
Celem mojej pracy było opisanie problemów związanych z rozwiązaniem równania
falowego. Przedstawienie przykładów rozwiązania równań falowych różno wymiarowych.
Trzeci dział mojej pracy dotyczy równań różniczkowych zwyczajnych. Zawarte
w nim zostały podstawowe pojęcia dotyczące tego zagadnienia jak: równanie
różniczkowe, rozwiązanie równania różniczkowego oraz przykłady tych równań. W
czwartym rozdziale opisane zostały równania różniczkowe cząstkowe i podstawowe
pojęcia dotyczące tego zagadnienia oraz przykłady. Równanie falowe jest pewnym typem
równania różniczkowego cząstkowego. W tym rozdziale opisane i rozwiązane zostanie
równanie falowe w jednym i dwóch wymiarach. Piąty dział zajmuje się już równaniami
falowymi, gdzie zostało rozwiązane równanie falowe w jednym i dwóch wymiarach. Do
tej pory równania falowe były rozwiązywane w sposób analityczny. W rozdziale szóstym
podejdziemy do równania w sposób typowo numeryczny. Kolejny dział stanowi mój
projekt do pracy. Program napisany kodem IDL rozwiązujący równanie falowe w jednym
wymiarze. Na końcu podsumowanie oraz bibliografia.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]