Symetria w fizyce (rozdział 2), Studia, Symetria w Fizyce

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Symetria w fizyce
Rozdział 2
2. Przekształcenia symetrii w dwóch wymiarach ....................................................................... 1
2.1 Symetrie figur płaskich..................................................................................................... 1
2.2 Symetria kwadratu............................................................................................................ 2
2.3 Składanie operacji symetrii .............................................................................................. 3
2.4 Tablica grupowa ............................................................................................................... 4
2.5 Grupa przekształceń ......................................................................................................... 5
2.6 Psujemy kwadrat .............................................................................................................. 6
2.7 Symetria trójkąta równobocznego .................................................................................... 8
2.8 Figury o symetrii obrotowej bez odbić............................................................................. 9
2.9 Symetrie sprzężone......................................................................................................... 10
2.10 Symetria obrazów dyfrakcji na otworach ..................................................................... 11
2.11 Symetria obrazów dyfrakcyjnych siatek płaskich i przestrzennych ............................. 12
2. Przekształcenia symetrii w dwóch wymiarach
2.1 Symetrie figur płaskich
W dalszym ciągu interesować nas będą takie izometrie, które przekształcają figurę geome-
tryczną w siebie. Izometrię tego rodzaju będziemy
nazywać przekształceniem symetrii
, lub
krócej
symetrią
figury geometrycznej – w dwóch wymiarach. Tej samej nazwy będziemy
używać dla izometrii przekształcających bryłę w siebie – w trzech wymiarach.
Nazewnictwo
Używane nazewnictwo nie jest jednoznaczne:

Zgodnie z przyjęta wyżej definicją symetrią nazywamy izometrię, przekształcającą figurę
lub bryłę w siebie. Na przykład kwadrat ma symetrię odbicia względnej przekątnej (patrz
dalej, rys.2.#).

Symetrią figury lub bryły nazywa się także zbiór wszystkich izometrii, przekształcających
figurę lub bryłę w siebie. W przypadku kwadratu jest to zbiór ośmiu izometrii (także
rys.2.#).
Zwykle z kontekstu bez trudu można zorientować się, o które z tych znaczeń chodzi.
Symetrie figur skończonych
Figury o skończonych rozmiarach mają symetrie, omówione w paragrafie poprzednim, to zna-
czy
odbicia
i
obroty
(w tym
inwersję
).
Do ich symetrii nie mogą natomiast należeć przesunięcia. Symetrię przesunięcia mogą mieć
tylko fikcyjne twory nieskończone, jak prosta czy wyidealizowana nieskończona sieć krysta-
liczna.
Obroty
Mogą istnieć dwa przypadki:
2

1
kąta pełnego
, czyli o
n
360
, a w mierze łukowej – o
n
2
,
1.
Figura ma symetrię obrotu o
n
oraz o wielokrotności tego kąta. Symetrie takie mają na przykład rozety, widoczne na fron-
tonie katedry na ostatniej stronie okładki, a także wielokąty foremne (patrz dalej).
1
kąta pełnego będziemy oznaczać
Mówiliśmy już w rozdziale poprzednim, że obrót o
n
symbolem
1
C
n
. Wielokrotności takiego obrotu: symbolami
2
n
C
,
3
n
C
, itp., zgodnie z kon-
wencją omówiona w rozdziale poprzednim (wzory 1.# i 1.#).
Dla
n
-kąta foremnego istnieje skończona liczba nietrywialnie różnych operacji tego rodza-
1
kąta pełnego daje kąt pełny, czyli transformację
ju, bo
n
-krotnie powtórzony obrót o
n
tożsamościową
e
.
2. Koło i okrąg mają symetrie obrotu o kąty dowolne, symetrii takich jest nieskończenie wiele.
Symetria odbiciowa
Figura może także mieć symetrię odbiciową – tak jak trójkąt równoramienny z rysunku 1.#.
Symetrie takie będziemy oznaczać symbolem  (oznaczenie to wprowadziliśmy w rozdziale
poprzednim).
2.2 Symetria kwadratu
Omawianie symetrii figur skończonych zacznijmy od kwadratu (rys.2.#). Na rysunku 2.#
kwadrat został podzielony na 8 „cząstek”. Na pierwszym z ośmiu rysunków jedna z cząstek
została wybrana i zaznaczona innym kolorem. Kolejne operacje symetrii przeprowadzają cały
kwadrat w siebie, ale pod ich wpływem wybrana cząstka zmienia położenie.
Rys. 2.1. Symetrie kwadratu
1.
Trzy rysunki w pierwszym wierszu przedstawiają kolejno obroty:
2 



o 90, czyli
2
. Zgodnie z umową oznaczamy ten obrót symbolem
C
4
.
4
2
. Zgodnie z umową oznaczamy go symbolem
C
2
.

2

o 180, czyli


2
3


3
 . Zgodnie

o 270, czyli
2


. Jest on równoważny obrotowi o kąt –
90, czyli
2
4
z konwencją z paragrafu 1.# oznaczyliśmy ten obrót symbolem
3
4
C
.
2.
Następne cztery rysunki ilustrują odbicia zwierciadlane:

względem linii poziomej, łączącej środki przeciwległych boków. Oznaczone ono zosta-
ło symbolem 
1
.

względem jednej z przekątnych, oznaczone symbolem 
2
.

względem linii pionowej (
3
).

względem drugiej z przekątnych (
4
).
Cząstka wyjściowa i siedem nowych, uzyskanych za pomocą omówionych przekształceń sy-
metrii, wypełniają cały kwadrat.
1
W książce tej będziemy posługiwać się oznaczeniami
 3
Inwersja w dwóch wymiarach
Wspomnieliśmy już w paragrafie 1.#, że obrót o kąt równy 180 w dwóch wymiarach nazywa
się także inwersją
i
(lub symetrią środkową). Powiedzieliśmy już, że kwadrat taką symetrię
posiada (rys.2.#c).
Równoległobok dowolny ma oprócz tożsamości tylko symetrię inwersji (patrz dalej).
Symetria tożsamościowa
W rozdziale poprzednim wprowadziliśmy formalnie jeszcze jeden typ symetrii:
tożsamość
.
Oznacza ona przekształcenie, nie zmieniające nic w układzie. Tożsamość oznaczać będziemy
symbolem
e
. Tak został podpisany pierwszy z ośmiu rysunków na ilustracji 1.#.
Symetrie odbiciowe wielokątów o parzystej liczbie boków
Zauważamy, że kwadrat ma dwa istotnie różne rodzaje odbić zwierciadlanych, względem pro-
stych przechodzących:
a.
przez środki przeciwległych boków (
1
i 
3
);
b.
przez przeciwległe wierzchołki (
2
i 
4
).
Taką właściwość mają też inne wielokąty foremne o
parzystej
liczbie boków. Rysunek 2.#
przedstawia linie odbić zwierciadlanych sześciokąta. Linie symetrii typu a zostały zaznaczone
kolorem czerwonym, a typu b – kolorem niebieskim.
Rys. 2.2. Linie odbić zwierciadlanych sześciokąta foremnego.
Zbiór przekształceń
Podsumujmy: kwadrat ma 8 przekształceń symetrii:
( 2.1)
e
,
C
4
,
C
2
=
2
4
C
,
3
4
C
, 
1
, 
2
, 
3
, 
4
.
Zbiór wszystkich operacji symetrii określonego obiektu nazywamy
grupą symetrii
lub
grupą
przekształceń
. Taka grupę stanowią na przykład wypisane przekształcenia symetrii kwadratu.
Grupa symetrii kwadratu ma 8 elementów.
Dokładniejsza definicja pojęcia grupy podana jest dalej, w paragrafie 2.#.
2.3 Składanie operacji symetrii
Złożenie przekształceń
Każde z omawianych przez wyżej nas przekształceń symetrii przeprowadzało rozważaną figu-
rę geometryczną w siebie. Można jednak pomyśleć, że dokonamy po kolei dwóch przekształ-
ceń: najpierw przekształcenia
a
, a potem przekształcenia
b
. Na skutek obu tych operacji figura
także przejdzie w siebie. A zatem
złożenie
dwóch przekształceń symetrii daje w wyniku także
pewne przekształcenie symetrii
c
. Zapisujemy to:
( 2.2)
c
=
ba
.
Oznaczenie jest identyczne, jak dla składania izometrii, omówionego w paragrafie 1.#.
Złożenie obrotów
Złożenie obrotu względem punktu o kąt  i obrotu o kąt  jest także obrotem: o kąt  + .
Mówiliśmy już o tym w paragrafie 1.#. Na przykład dwukrotne obrócenie kwadratu o 90 daje
obrót o 180 (rys.1.#):
4
( 2.3)
C
4
C
4
=
2
4
C
=
C
2
.
Podobnie trzykrotne złożenie obrotów o 90 daje obrót o 270:
( 2.4)
C
4
C
4
C
4
=
3
4
C
; itp.
Czterokrotne złożenie takich obrotów, czyli
4
4
C
, oznacza obrót o 360, co jest równoważne
tozsamości. Zatem:
( 2.5)
4
4
C
=
e
.
Złożenie dwóch identycznych odbić
Złożenie dwóch odbić względem tej samej linii daje przekształcenie tożsamościowe (mówili-
śmy o tym w paragrafie 1.#). Na przykład (rys.1.#)
( 2.6) 
1

1
=
e
.
Rys. 2.3. Dwukrotne odbicie zwierciadlane jest przekształceniem tożsamościowym
Złożenie dwóch różnych odbić
Złożenie dwóch odbić względem dwóch linii, tworzących ze sobą kąt , jest obrotem o kąt
2. Na przykład przekształcenie, które jest złożeniem kolejno odbić 
1
i 
2
z rysunku 1.#
( = 45) jest obrotem o kąt 90 (rys.1.#):
( 2.7) 
2

1
=
C
4
.
Pamiętamy: przekształcenia piszemy w „odwrotnej” kolejności!
Podobnie możemy napisać:
( 2.8) 
1

2
=
3
4
C
.
Złożenie przekształceń symetrii nie zawsze jest przemienne
Operacja złożenia przekształceń symetrii na ogół nie jest przemienna, o czym mówiliśmy już
w paragrafie 1.#. Może więc zachodzić:
( 2.9)
ba

ab
.
Na przykład 
2

1
=
C
4
 
1

2
=
3
4
C
(wzory 2.# i 2.#).
2.4 Tablica grupowa
Przy omawianiu właściwości symetrii figur geometrycznych sporządza się tabele, które przed-
stawiają złożenia poszczególnych operacji symetrii rozważanego obiektu – czyli poszczegól-
nych elementów grupy symetrii. Nazywamy je
tabelami grupowymi
Oczywiście postępuje
się tak wtedy, kiedy liczba przekształceń symetrii jest niezbyt wielka liczbą naturalną.
Przykład
Tabela 2.# przedstawia złożenia elementów symetrii kwadratu
c
=
ba
. Pierwszy wiersz przed-
stawia element
a
, który działa jako pierwszy. Pierwsza kolumna przedstawia element
b
, który
działa jako drugi.
Składanie interesujących nas elementów grupy symetrii omówiliśmy już w zasadzie w para-
grafie poprzednim. Stwierdziliśmy wtedy na przykład, że:
5
( 2.10)
C
4
C
4
=
2
4
C
=
C
2
.
( 2.11)
C
4
C
4
C
4
=
(
C
4
C
4
)
C
4
=
C
2
C
4
=
3
4
C
;
( 2.12) 
1

1
=
e
;
( 2.13) 
2

1
=
C
4
;
( 2.14) 
1

2
=
3
4
C
.
Pozostałe rubryki wypełnimy w podobny sposób.
Tabela 2.#. Tabela złożeń operacji symetrii kwadratu (tablica grupowa)
e
C
4
C
2
C
4
3

1

3

2

4
e
e
C
4
C
2
C
4
3

1

3

2

4
C
4
C
4
C
2
C
4
3
e

2

4

3

1
C
2
C
2
C
4
3
e
C
4

3

1

4

2
C
4
3
C
4
3
e
C
4
C
2

4

2

1

3

1

1

4

3

2
C
4
3
e
C
2
C
4
C
4
3
C
2
e
C
4

3

3

2

1

4
C
4
3

2

2

1

4

3
C
4
e
C
2
C
4
3
C
4
C
2
e

4

4

3

2

1
Program komputerowy
2.5 Grupa przekształceń
Zbiór wszystkich operacji symetrii określonego obiektu nazywamy
grupą symetrii
lub
grupą
przekształceń
. Taka grupę stanowią na przykład omówione wyżej przekształcenia symetrii
kwadratu. Wiemy już, że grupa symetrii kwadratu ma 8 elementów.
W matematyce pojęcie grupy jest precyzyjnie określone.
Definicja grupy
W matematyce
grupą
G nazywamy:

zbiór elementów
a
,
b
,
c
, ... ;

dla którego określona jest operacja
złożenia
(którą oznaczymy na chwilę symbolem ),
i który ma następujące własności:
1.
Jeżeli
a
i
b
są elementami zbioru G, to i ich złożenie
b

a
jest elementem zbioru G.
2.
Operacja złożenia jest
łączna
:
c

b

a
= (
c

b
)
a
=
c
(
b

a
).
3.
Zbiór G zawiera
element jednostkowy
e
, taki że
e

a
=
a

e
=
a
.
4.
Jeżeli
a
należy do zbioru G, to w zbiorze jest i element
b
o własności
:
b

a
=
a

b
=
e
. Ele-
ment
b
nazywamy
elementem odwrotnym
do elementu
a
i zapisujemy go
b
=
a
–1
.
Nie wymaga się, aby operacja złożenia była
przemienna
.
Definicja grupy symetrii
Zbiór elementów symetrii figury – takiej jak kwadrat – stanowi grupę. Nazywamy ją
grupą
symetrii
.
1.
Postulat 1 wynika z ogólnej własności izometrii: złożenie izometrii jest izometrią (§#).
2.
Złożenie izometrii jest łączne (§1#).
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • kfc.htw.pl