Symetria w fizyce (rozdział 2), Studia, Symetria w Fizyce
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Symetria w fizyce
Rozdział 2
2. Przekształcenia symetrii w dwóch wymiarach ....................................................................... 1
2.1 Symetrie figur płaskich..................................................................................................... 1
2.2 Symetria kwadratu............................................................................................................ 2
2.3 Składanie operacji symetrii .............................................................................................. 3
2.4 Tablica grupowa ............................................................................................................... 4
2.5 Grupa przekształceń ......................................................................................................... 5
2.6 Psujemy kwadrat .............................................................................................................. 6
2.7 Symetria trójkąta równobocznego .................................................................................... 8
2.8 Figury o symetrii obrotowej bez odbić............................................................................. 9
2.9 Symetrie sprzężone......................................................................................................... 10
2.10 Symetria obrazów dyfrakcji na otworach ..................................................................... 11
2.11 Symetria obrazów dyfrakcyjnych siatek płaskich i przestrzennych ............................. 12
2. Przekształcenia symetrii w dwóch wymiarach
2.1 Symetrie figur płaskich
W dalszym ciągu interesować nas będą takie izometrie, które przekształcają figurę geome-
tryczną w siebie. Izometrię tego rodzaju będziemy
nazywać przekształceniem symetrii
, lub
krócej
symetrią
figury geometrycznej – w dwóch wymiarach. Tej samej nazwy będziemy
używać dla izometrii przekształcających bryłę w siebie – w trzech wymiarach.
Nazewnictwo
Używane nazewnictwo nie jest jednoznaczne:
Zgodnie z przyjęta wyżej definicją symetrią nazywamy izometrię, przekształcającą figurę
lub bryłę w siebie. Na przykład kwadrat ma symetrię odbicia względnej przekątnej (patrz
dalej, rys.2.#).
Symetrią figury lub bryły nazywa się także zbiór wszystkich izometrii, przekształcających
figurę lub bryłę w siebie. W przypadku kwadratu jest to zbiór ośmiu izometrii (także
rys.2.#).
Zwykle z kontekstu bez trudu można zorientować się, o które z tych znaczeń chodzi.
Symetrie figur skończonych
Figury o skończonych rozmiarach mają symetrie, omówione w paragrafie poprzednim, to zna-
czy
odbicia
i
obroty
(w tym
inwersję
).
Do ich symetrii nie mogą natomiast należeć przesunięcia. Symetrię przesunięcia mogą mieć
tylko fikcyjne twory nieskończone, jak prosta czy wyidealizowana nieskończona sieć krysta-
liczna.
Obroty
Mogą istnieć dwa przypadki:
2
1
kąta pełnego
, czyli o
n
360
, a w mierze łukowej – o
n
2
,
1.
Figura ma symetrię obrotu o
n
oraz o wielokrotności tego kąta. Symetrie takie mają na przykład rozety, widoczne na fron-
tonie katedry na ostatniej stronie okładki, a także wielokąty foremne (patrz dalej).
1
kąta pełnego będziemy oznaczać
Mówiliśmy już w rozdziale poprzednim, że obrót o
n
symbolem
1
C
n
. Wielokrotności takiego obrotu: symbolami
2
n
C
,
3
n
C
, itp., zgodnie z kon-
wencją omówiona w rozdziale poprzednim (wzory 1.# i 1.#).
Dla
n
-kąta foremnego istnieje skończona liczba nietrywialnie różnych operacji tego rodza-
1
kąta pełnego daje kąt pełny, czyli transformację
ju, bo
n
-krotnie powtórzony obrót o
n
tożsamościową
e
.
2. Koło i okrąg mają symetrie obrotu o kąty dowolne, symetrii takich jest nieskończenie wiele.
Symetria odbiciowa
Figura może także mieć symetrię odbiciową – tak jak trójkąt równoramienny z rysunku 1.#.
Symetrie takie będziemy oznaczać symbolem (oznaczenie to wprowadziliśmy w rozdziale
poprzednim).
2.2 Symetria kwadratu
Omawianie symetrii figur skończonych zacznijmy od kwadratu (rys.2.#). Na rysunku 2.#
kwadrat został podzielony na 8 „cząstek”. Na pierwszym z ośmiu rysunków jedna z cząstek
została wybrana i zaznaczona innym kolorem. Kolejne operacje symetrii przeprowadzają cały
kwadrat w siebie, ale pod ich wpływem wybrana cząstka zmienia położenie.
Rys. 2.1. Symetrie kwadratu
1.
Trzy rysunki w pierwszym wierszu przedstawiają kolejno obroty:
2
o 90, czyli
2
. Zgodnie z umową oznaczamy ten obrót symbolem
C
4
.
4
2
. Zgodnie z umową oznaczamy go symbolem
C
2
.
2
o 180, czyli
2
3
3
. Zgodnie
o 270, czyli
2
. Jest on równoważny obrotowi o kąt –
90, czyli
2
4
z konwencją z paragrafu 1.# oznaczyliśmy ten obrót symbolem
3
4
C
.
2.
Następne cztery rysunki ilustrują odbicia zwierciadlane:
względem linii poziomej, łączącej środki przeciwległych boków. Oznaczone ono zosta-
ło symbolem
1
.
względem jednej z przekątnych, oznaczone symbolem
2
.
względem linii pionowej (
3
).
względem drugiej z przekątnych (
4
).
Cząstka wyjściowa i siedem nowych, uzyskanych za pomocą omówionych przekształceń sy-
metrii, wypełniają cały kwadrat.
1
W książce tej będziemy posługiwać się oznaczeniami
3
Inwersja w dwóch wymiarach
Wspomnieliśmy już w paragrafie 1.#, że obrót o kąt równy 180 w dwóch wymiarach nazywa
się także inwersją
i
(lub symetrią środkową). Powiedzieliśmy już, że kwadrat taką symetrię
posiada (rys.2.#c).
Równoległobok dowolny ma oprócz tożsamości tylko symetrię inwersji (patrz dalej).
Symetria tożsamościowa
W rozdziale poprzednim wprowadziliśmy formalnie jeszcze jeden typ symetrii:
tożsamość
.
Oznacza ona przekształcenie, nie zmieniające nic w układzie. Tożsamość oznaczać będziemy
symbolem
e
. Tak został podpisany pierwszy z ośmiu rysunków na ilustracji 1.#.
Symetrie odbiciowe wielokątów o parzystej liczbie boków
Zauważamy, że kwadrat ma dwa istotnie różne rodzaje odbić zwierciadlanych, względem pro-
stych przechodzących:
a.
przez środki przeciwległych boków (
1
i
3
);
b.
przez przeciwległe wierzchołki (
2
i
4
).
Taką właściwość mają też inne wielokąty foremne o
parzystej
liczbie boków. Rysunek 2.#
przedstawia linie odbić zwierciadlanych sześciokąta. Linie symetrii typu a zostały zaznaczone
kolorem czerwonym, a typu b – kolorem niebieskim.
Rys. 2.2. Linie odbić zwierciadlanych sześciokąta foremnego.
Zbiór przekształceń
Podsumujmy: kwadrat ma 8 przekształceń symetrii:
( 2.1)
e
,
C
4
,
C
2
=
2
4
C
,
3
4
C
,
1
,
2
,
3
,
4
.
Zbiór wszystkich operacji symetrii określonego obiektu nazywamy
grupą symetrii
lub
grupą
przekształceń
. Taka grupę stanowią na przykład wypisane przekształcenia symetrii kwadratu.
Grupa symetrii kwadratu ma 8 elementów.
Dokładniejsza definicja pojęcia grupy podana jest dalej, w paragrafie 2.#.
2.3 Składanie operacji symetrii
Złożenie przekształceń
Każde z omawianych przez wyżej nas przekształceń symetrii przeprowadzało rozważaną figu-
rę geometryczną w siebie. Można jednak pomyśleć, że dokonamy po kolei dwóch przekształ-
ceń: najpierw przekształcenia
a
, a potem przekształcenia
b
. Na skutek obu tych operacji figura
także przejdzie w siebie. A zatem
złożenie
dwóch przekształceń symetrii daje w wyniku także
pewne przekształcenie symetrii
c
. Zapisujemy to:
( 2.2)
c
=
ba
.
Oznaczenie jest identyczne, jak dla składania izometrii, omówionego w paragrafie 1.#.
Złożenie obrotów
Złożenie obrotu względem punktu o kąt i obrotu o kąt jest także obrotem: o kąt + .
Mówiliśmy już o tym w paragrafie 1.#. Na przykład dwukrotne obrócenie kwadratu o 90 daje
obrót o 180 (rys.1.#):
4
( 2.3)
C
4
C
4
=
2
4
C
=
C
2
.
Podobnie trzykrotne złożenie obrotów o 90 daje obrót o 270:
( 2.4)
C
4
C
4
C
4
=
3
4
C
; itp.
Czterokrotne złożenie takich obrotów, czyli
4
4
C
, oznacza obrót o 360, co jest równoważne
tozsamości. Zatem:
( 2.5)
4
4
C
=
e
.
Złożenie dwóch identycznych odbić
Złożenie dwóch odbić względem tej samej linii daje przekształcenie tożsamościowe (mówili-
śmy o tym w paragrafie 1.#). Na przykład (rys.1.#)
( 2.6)
1
1
=
e
.
Rys. 2.3. Dwukrotne odbicie zwierciadlane jest przekształceniem tożsamościowym
Złożenie dwóch różnych odbić
Złożenie dwóch odbić względem dwóch linii, tworzących ze sobą kąt , jest obrotem o kąt
2. Na przykład przekształcenie, które jest złożeniem kolejno odbić
1
i
2
z rysunku 1.#
( = 45) jest obrotem o kąt 90 (rys.1.#):
( 2.7)
2
1
=
C
4
.
Pamiętamy: przekształcenia piszemy w „odwrotnej” kolejności!
Podobnie możemy napisać:
( 2.8)
1
2
=
3
4
C
.
Złożenie przekształceń symetrii nie zawsze jest przemienne
Operacja złożenia przekształceń symetrii na ogół nie jest przemienna, o czym mówiliśmy już
w paragrafie 1.#. Może więc zachodzić:
( 2.9)
ba
ab
.
Na przykład
2
1
=
C
4
1
2
=
3
4
C
(wzory 2.# i 2.#).
2.4 Tablica grupowa
Przy omawianiu właściwości symetrii figur geometrycznych sporządza się tabele, które przed-
stawiają złożenia poszczególnych operacji symetrii rozważanego obiektu – czyli poszczegól-
nych elementów grupy symetrii. Nazywamy je
tabelami grupowymi
Oczywiście postępuje
się tak wtedy, kiedy liczba przekształceń symetrii jest niezbyt wielka liczbą naturalną.
Przykład
Tabela 2.# przedstawia złożenia elementów symetrii kwadratu
c
=
ba
. Pierwszy wiersz przed-
stawia element
a
, który działa jako pierwszy. Pierwsza kolumna przedstawia element
b
, który
działa jako drugi.
Składanie interesujących nas elementów grupy symetrii omówiliśmy już w zasadzie w para-
grafie poprzednim. Stwierdziliśmy wtedy na przykład, że:
5
( 2.10)
C
4
C
4
=
2
4
C
=
C
2
.
( 2.11)
C
4
C
4
C
4
=
(
C
4
C
4
)
C
4
=
C
2
C
4
=
3
4
C
;
( 2.12)
1
1
=
e
;
( 2.13)
2
1
=
C
4
;
( 2.14)
1
2
=
3
4
C
.
Pozostałe rubryki wypełnimy w podobny sposób.
Tabela 2.#. Tabela złożeń operacji symetrii kwadratu (tablica grupowa)
e
C
4
C
2
C
4
3
1
3
2
4
e
e
C
4
C
2
C
4
3
1
3
2
4
C
4
C
4
C
2
C
4
3
e
2
4
3
1
C
2
C
2
C
4
3
e
C
4
3
1
4
2
C
4
3
C
4
3
e
C
4
C
2
4
2
1
3
1
1
4
3
2
C
4
3
e
C
2
C
4
C
4
3
C
2
e
C
4
3
3
2
1
4
C
4
3
2
2
1
4
3
C
4
e
C
2
C
4
3
C
4
C
2
e
4
4
3
2
1
Program komputerowy
2.5 Grupa przekształceń
Zbiór wszystkich operacji symetrii określonego obiektu nazywamy
grupą symetrii
lub
grupą
przekształceń
. Taka grupę stanowią na przykład omówione wyżej przekształcenia symetrii
kwadratu. Wiemy już, że grupa symetrii kwadratu ma 8 elementów.
W matematyce pojęcie grupy jest precyzyjnie określone.
Definicja grupy
W matematyce
grupą
G nazywamy:
zbiór elementów
a
,
b
,
c
, ... ;
dla którego określona jest operacja
złożenia
(którą oznaczymy na chwilę symbolem ),
i który ma następujące własności:
1.
Jeżeli
a
i
b
są elementami zbioru G, to i ich złożenie
b
a
jest elementem zbioru G.
2.
Operacja złożenia jest
łączna
:
c
b
a
= (
c
b
)
a
=
c
(
b
a
).
3.
Zbiór G zawiera
element jednostkowy
e
, taki że
e
a
=
a
e
=
a
.
4.
Jeżeli
a
należy do zbioru G, to w zbiorze jest i element
b
o własności
:
b
a
=
a
b
=
e
. Ele-
ment
b
nazywamy
elementem odwrotnym
do elementu
a
i zapisujemy go
b
=
a
–1
.
Nie wymaga się, aby operacja złożenia była
przemienna
.
Definicja grupy symetrii
Zbiór elementów symetrii figury – takiej jak kwadrat – stanowi grupę. Nazywamy ją
grupą
symetrii
.
1.
Postulat 1 wynika z ogólnej własności izometrii: złożenie izometrii jest izometrią (§#).
2.
Złożenie izometrii jest łączne (§1#).
[ Pobierz całość w formacie PDF ]