System nawigacji satelitarnej GPS cz06, GPS
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
K U R S
System nawigacji
satelitarnej GPS
, część 6
Pozycja, prędkość i czas
Położenie satelitów
Jak pamiętamy, położenie użyt-
kownika w systemie GPS jest wy-
znaczane jako miejsce przecięcia
powierzchni pozycyjnych o kształ-
cie sfery. Pseudoodległości, których
sposób określania w odbiornikach
GPS został wyjaśniony powyżej,
mogą być traktowane jako pro-
mienie tych sfer. Pozostaje jeszcze
do wyjaśnienia sposób, w jaki od-
biorniki GPS znajdują środki po-
szczególnych sfer, czyli położenia
satelitów GPS w chwili nadawania
z nich sygnałów śledzonych w od-
biorniku.
Jak już wspomniano w pierw-
szym odcinku kursu, ruch sate-
litów GPS odbywa się po prawie
kołowych orbitach o promieniu
około 26560 km. Opisem ruchu
satelitów zajmuje się mechanika
orbitalna, której trzy fundamental-
ne zasady zostały sformułowane
w XVII wieku przez Keplera. Zgod-
nie z tymi zasadami, ruch satelity
GPS po orbicie nominalnej, zwanej
orbitą keplerowską, spełnia nastę-
pujące warunki:
1. Orbita satelity jest eliptyczna,
a Ziemia znajduje się w jednym
z ognisk tej elipsy.
2. Linia łącząca środek kuli ziem-
skiej z satelitą zakreśla obszary
W poprzedniej części kursu opisalismy między innymi strukturę
sygnałów nadawanych przez satelity systemu GPS. Celem
niniejszego artykułu jest przedstawienie sposobu wykorzystania
tych sygnałów w odbiornikach GPS należących do segmentu
użytkowników.
o jednakowych powierzchniach
w jednakowych odcinkach czasu.
3. Kwadrat okresu obiegu satelity
wokół Ziemi jest proporcjonal-
ny do trzeciej potęgi odległości
R
pomiędzy nimi.
Orbita nominalna satelity może
być opisana za pomocą 6 parame-
trów, określających kształt i orienta-
cję elipsy orbity w przestrzeni oraz
fazę satelity w ruchu po tej orbi-
cie. Dzięki takiemu opisowi w każ-
dej chwili można obliczyć bieżące
położenie i prędkość satelity. Para-
metry klasycznej orbity keplerow-
skiej przedstawiono na
rys. 25
.
W rzeczywistości ruch satelitów
GPS wykazuje odstępstwa od ru-
chu po orbicie keplerowskiej. Od-
stępstwa te, zwane perturbacjami,
są wywoływane przez niejednorod-
ności pola grawitacyjnego Ziemi,
oddziaływania grawitacyjne Księży-
ca i Słońca, oddziaływanie strumie-
nia promieniowania słonecznego,
itp. Z tego względu ruch sateli-
tów jest na bieżąco monitorowany
przez segment kontrolny GPS. Ob-
liczone w głównej stacji kontrolnej
zmodyfikowane parametry orbital-
ne wraz z poprawkami korekcyj-
Rys. 25. Orbita satelity i jej parametry
104
Elektronika Praktyczna 7/2006
K U R S
czyć czas ich nadania oraz współ-
rzędne każdego z satelitów (
X
,
Y
,
Z
).
Odbiornik określa czasy odbioru
i nadania poszczególnych sygnałów
oraz oblicza cztery pseudoodległo-
ści
PR
. Każda z obliczonych pseu-
doodległości składa się z rzeczy-
wistej odległości
R
i błędu zegara
odbiornika
b
, którego wartość we
wszystkich pseudoodległościach jest
taka sama. Korzystając z zasad geo-
metrii możemy zapisać zależność
pseudoodległości od współrzędnych
satelity i odbiornika oraz błędu ze-
gara odbiornika. Dla przykładu za-
piszemy to równanie dla pierwsze-
go pomiaru:
zapiszemy to równanie dla pierwszego pomiaru:
( ) ( ) ( )
b
=
X
−
x
2
+
Y
−
y
2
+
Z
−
z
2
+
1
W tym równaniu wyst�puj� wielko�ci znane (pseudoodległo�� i współrz�dne
1
1
1
Rys. 26. Zasada określania położenia użytkownika w systemie GPS
W tym równaniu występują
wielkości znane (pseudoodległość
i współrzędne położenia pierwszego
z satelitów) oraz cztery niewiadome
x,
y,
z
i
b
. Gdybyśmy dysponowali
pomiarem tylko jednej pseudoodle-
głości nie dałoby się określić na jej
podstawie tych czterech niewiado-
mych. Założyliśmy jednak, że od-
biornik śledzi cztery satelity, więc
dysponujemy czterema pomiarami
pseudoodległości i możemy ułożyć
cztery równania podobne do po-
wyższego. Układ czterech równań
z czterema niewiadomymi można
rozwiązać wyznaczając z niego trzy
współrzędne położenia i błąd zega-
ra. To właśnie rozwiązanie jest ob-
liczane w odbiorniku GPS.
W większości współczesnych od-
biorników GPS jako algorytm słu-
żący do wyznaczenia wyżej wy-
mienionych wielkości stosuje się
filtr Kalmana. Prostsze oraz starsze
odbiorniki GPS nie stosują filtra-
cji Kalmana, lecz każdorazowo po
dokonaniu nowych pomiarów roz-
wiązują nieliniowy układ równań
pseudoodległości wyznaczając poje-
dyncze punkty położenia użytkow-
nika metodą iteracyjną. W celu wy-
jaśnienia zasady obliczania położe-
nia, obecnie zostanie przedstawiona
ta właśnie najprostsza metoda.
Rozwiązanie układu równań nie-
liniowych jest realizowane poprzez
ich linearyzację, której istotę dla
pewnej przykładowej funkcji jed-
nej zmiennej
h
(
x
) wyjaśniono na
rys.
27
.
Linearyzacja funkcji nielinio-
wej
h
(
x
) polega na zastąpieniu jej
funkcją liniową, która lokalnie,
w niewielkim zakresie ∆
x
wokół
punktu
x
0
, w przybliżeniu pokry-
nymi są transmitowane do sateli-
tów, a następnie przesyłane przez
satelity w 2 i 3 podramce depeszy
nawigacyjnej (efemerydy) oraz w 4
i 5 podramce depeszy (almanach).
Liczba parametrów orbitalnych
przesyłanych jako efemerydy wyno-
si 17, a więc jest znacznie większa
niż 6 parametrów niezbędnych do
opisu klasycznej orbity keplerow-
skiej. Efemerydy umożliwiają sto-
sunkowo dokładne obliczenie po-
łożenia i prędkości tych satelitów,
które je nadają. Dane almanachu
są mniej dokładne, ale zachowują
aktualność znacznie dłużej niż efe-
merydy i z tego względu są zwykle
wykorzystywane w początkowym
etapie pracy odbiornika, dopóki nie
zdekoduje on depeszy nawigacyjnej
i nie odbierze aktualnych efemeryd.
Następnie odbiornik GPS oblicza
położenie satelitów i użytkownika
stosując odebrane efemerydy. Algo-
rytm obliczania położenia satelitów
jest szczegółowo opisany w specyfi-
kacji systemu ICD–GPS–200.
W systemie GPS położenie sa-
telitów i położenie użytkownika są
wyznaczane w prostokątnym ukła-
dzie współrzędnych ECEF (
Earth–
–Centered Earth–Fixed
), o początku
w środku kuli ziemskiej, nierucho-
mym względem Ziemi. Oznacza to,
że układ ten wykonuje ruch obro-
towy wraz z kulą ziemską. Stoso-
wany w GPS układ współrzędnych
ma oznaczenie WGS–84 i oprócz
definicji osi układu zawiera tak-
że opis przybliżonego kształtu na-
szej planety (elipsoidy ziemskiej).
Osie X i Y układu WGS–84 leżą
w płaszczyźnie równika, przy czym
oś X przecina południk Greenwich
(0°), a oś Y przecina południk 90°.
Oś Z przechodzi natomiast przez
biegun północny.
Położenie użytkownika i czas
Po obliczeniu położenia sateli-
tów i wykonaniu pomiarów pseudo-
odległości, odbiornik GPS może już
przystąpić do obliczenia położenia
użytkownika. Wyobraźmy sobie sy-
tuację przedstawio-
ną na
rys. 26
.
Załóżmy, że
z punktu o nie-
znanych współ-
rzędnych (
x
,
y
,
z
),
w którym znajdu-
je się użytkownik
posiadający odbior-
nik GPS widoczne
są cztery satelity.
Nadają one sygna-
ły, na podstawie
których w odbior-
niku można obli-
Rys. 27. Linearyzacja funkcji nieliniowej
Elektronika Praktyczna 7/2006
105
PR
K U R S
wa się z funkcją nieliniową. Wów-
czas zamiast nieliniowej zależno-
ści
y
=
h
(
x
) możemy posługiwać
się prostszą zależnością liniową
∆y≈
H
·∆x, która jednak obowiązu-
je tylko dla małych odcinków ∆
x
i ∆
y
, a nie dla zmiennych
x
i
y
.
Współczynnik
H
jest wyznaczany
jako pochodna funkcji
h
(
x
) w punk-
cie
x
0
i jest równy tangensowi kąta
nachylenia stycznej w tym punk-
cie.
Stosując linearyzację nieliniowej
funkcji opisującej pseudoodległość,
która jest funkcją 4 zmiennych
(
x
,
y
,
z
,
b
), jako punkt, wokół któ-
rego dokonuje się tej linearyzacji
wybieramy przybliżone położe-
nie użytkownika (
x
0
,
y
0
,
z
0
). Może
to być np. położenie zapamiętane
podczas ostatniego użycia odbior-
nika GPS. Początkową wartość błę-
du zegara można przyjąć równą
zeru
b
0
= 0. Linearyzowane równa-
nie dla pierwszej pseudoodległości
przedstawia się następująco:
∆
PR
=
PR
1
przy czym
H
11
,
H
12
,
H
13
s� współczynnikami znalezionej funkcji liniowej, w
−
PR
obl
1
=
H
11
⋅
∆
x
+
H
12
⋅
∆
y
+
H
pierwszej pseudoodległo�ci przedstawia si� nast�puj�co:
b
+
H
13
⋅
∆
z
+
∆
przy czym
H
11
,
H
12
,
H
13
są
współczynnikami znalezionej funk-
cji liniowej, w przybliżeniu po-
krywającej się z funkcją nielinio-
wą w otoczeniu punktu (
x
0
,
y
0
,
z
0
).
Wielkości ∆
x
, ∆
y
i ∆
z
stanowią
różnice pomiędzy rzeczywistymi
współrzędnymi położenia użytkow-
nika (
x
,
y
,
z
), a współrzędnymi za-
łożonymi (
x
0
,
y
0
,
z
0
), ∆
b
jest różnicą
pomiędzy rzeczywistym błędem ze-
gara odbiornika
b
, a jego założoną
wartością
b
0
, natomiast
PR
1
obl
jest
wartością pseudoodległości obliczo-
ną przy założeniu, że użytkownik
znajduje się w punkcie (
x
0
,
y
0
,
z
0
).
Algorytm obliczania położenia użyt-
kownika w odbiorniku GPS przed-
stawiono na
rys.
28
.
Jak widać błąd zegara odbior-
nika GPS jest tu traktowany tak,
jakby stanowił kolejną współrzęd-
ną, którą należy wyznaczyć. I rze-
czywiście, skoro znamy błąd zega-
ra odbiornika, możemy odjąć ten
błąd od jego wskazań, uzyskując
bardzo precyzyjne wskazanie aktu-
alnego czasu. Można więc powie-
dzieć, że w wyniku rozwiązania
układu równań zostaje wyznaczo-
ne położenie użytkownika w czaso-
przestrzeni czterowymiarowej, a nie
w przestrzeni trójwymiarowej. Moż-
liwość dokładnego określenia czasu
jest bardzo ważną cechą systemu
Rys. 28. Prosty algorytm wyznaczania położenia w odbiorniku GPS
GPS, i znajduje ona szereg zasto-
sowań, np. do synchronizacji roz-
proszonych systemów telekomuni-
kacyjnych i energetycznych. Trzeba
jednak zauważyć, że do wyzna-
czenia położenia i czasu koniecz-
ne jest śledzenie przez odbiornik
przynajmniej czterech satelitów
GPS. Gdyby wskazania zegara od-
biornika były zgodne ze skalą cza-
su GPS, błąd zegara byłby zerowy
(
b
=0) i wystarczyłyby pomiary tyl-
ko trzech pseudoodległości, które
wówczas byłyby rzeczywistymi od-
ległościami satelita–odbiornik.
Zwykle liczba widocznych sate-
litów jest większa niż 4. Wówczas
odbiornik, w zależności od kon-
strukcji i wewnętrznego oprogramo-
wania, może przetwarzać pomiary
uzyskane ze wszystkich śledzonych
satelitów lub pomiary z wybranych
4 satelitów, których rozmieszczenie
jest optymalne z punktu widzenia
minimalizacji błędów. Do oceny
wpływu rozmieszczenia satelitów
na dokładność położenia i czasu
stosowane są współczynniki „roz-
mycia” dokładności DOP (
Dilution
of Precision
), które zostaną omó-
wione w jednym z kolejnych od-
cinków kursu. Optymalny wybór
satelitów powinien minimalizować
wartości tych współczynników.
Liczba iteracji wymaganych, aby
algorytm przedstawiony na rys. 28
ustalił położenie z zadaną dokład-
nością zależy od dokładności ini-
cjalizacji, założonych wartości pro-
gowych oraz od geometrii układu
satelitów, których pomiary są wy-
korzystywane w rozwiązaniu nawi-
gacyjnym. W typowych warunkach
obserwacji, jeśli początkowe poło-
żenie jest znane z dokładnością do
kilku kilometrów, już w pierwszym
obiegu pętli uzyskuje się zadowa-
lającą dokładność rzędu pojedyn-
czych metrów.
Piotr Kaniewski
pkaniewski@wat.edu.pl
106
Elektronika Praktyczna 7/2006
[ Pobierz całość w formacie PDF ]