systemyliczbowe, Informatyka, systemy liczbowe
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
SYSTEMY LICZBOWE
SYSTEMY POZYCYJNE:
–
dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
–
rzymski:
I, II , III, V, C, M
System pozycyjno–wagowy
: na przykład liczba 444
4 4 4
4
∗
10
4
∗
10
4
∗
1
Wagi systemu dziesiętnego: 1, 10, 100, 1000, .......
L
=
C
⋅
P
n
−
1
+
C
⋅
P
n
−
2
+
⋅
⋅
⋅
+
C
⋅
P
1
+
C
⋅
P
0
n
−
n
−
2
1
0
C
– elementy zbioru cyfr dostępnych w danym systemie,
{ }
C
∈
0
...,
P
−
1
,
P
– podstawa systemu, P = 2, 4, 8, 10, 16 (60 – Babilon,
czas),
n
– liczba całkowita.
Przykłady
:
P = 2
→
C
∈
{
0
P = 4
→
C
∈
{
3
0
2
P = 8
→
{
C
∈
0
2
3
4
5
6
7
P = 10
→
C
∈
{
0
2
3
4
5
6
7
8
9
P = 16
→
C
∈
{
1
42
2
3
4
5
43
6
7
8
9
1
42
C
D
43
E
F
}
10
cyfr
uzupełnienie
37
1
A
B
ZAPIS liczby
1011
w różnych systemach (n = 4)
:
1011
(2)
= 1
⋅
2
3
+0
⋅
2
2
+1
⋅
2
1
+1
⋅
2
0
=8+0+2+1=11
1011
(4)
= 1
⋅
4
3
+0
⋅
4
2
+1
⋅
4
1
+1
⋅
4
0
=64+0+4+1=69
1011
(8)
= 1
⋅
8
3
+0
⋅
8
2
+1
⋅
8
1
+1
⋅
8
0
=512+0+8+1=521
1011
(10)
= 1
⋅
10
3
+0
⋅
10
2
+1
⋅
10
1
+1
⋅
10
0
=1000+0+10+1=1011
1011
(16)
= 1
⋅
16
3
+0
⋅
16
2
+1
⋅
16
1
+1
⋅
16
0
=4096+0+16+1=4113
System (10)
→
SYSTEMNATURALNY
System (2)
→
SYSTEM KOMPUTEROWY {0, 1}
System (16)
→
SYSTEMKOMPUTEROWY
Przykłady
:
10
(16)
= 16
(10)
10
(
16
)
=
1
⋅
16
1
+
0
⋅
16
0
=
16
+
0
=
16
16
(
10
)
=
1
⋅
10
1
+
6
⋅
10
0
=
10
+
6
=
16
19
(16)
= 25
(10)
19
(
16
)
=
1
⋅
16
1
+
9
⋅
16
0
=
16
+
9
=
25
25
(
10
)
=
2
⋅
10
1
+
5
⋅
10
0
=
20
+
5
=
25
BF
(16)
= 191
(10)
BF
(
16
)
=
B
⋅
16
1
+
F
⋅
16
0
=
11
⋅
16
+
15
⋅
1
=
191
191
(
10
)
=
1
⋅
10
2
+
9
⋅
10
1
+
1
⋅
10
0
=
100
+
90
+
1
=
191
SYSTEM DZIESIĘTNY
Podstawa P = 10, znaki
+
oraz
–
Liczby są przedstawiane jako sumy potęg podstawy 10.
1245,245 = 1
⋅
10
3
+2
⋅
10
2
+4
⋅
10
1
+5
⋅
10
0
+2
⋅
10
-1
+4
⋅
10
-2
+5
⋅
10
-3
38
SYSTEM DWÓJKOWY (BINARNY)
Znaki: 0, 1
Dwójkowy system pozycyjny, kod dwójkowy
ZALETY
:
–
prostota
–
łatwa realizacja techniczna (elektronika)
–
możliwość interpretacji cyfr {0, 1} jako wartości
logicznych (
algebra Boole’a
)
WADY
:
–
długość zapisu
–
przyzwyczajenie
KOMPUTERY: konwersja systemów 10
→
16
→
2
Liczby w zapisie dwójkowym:
c
n-1
c
n-2
...... c
1
c
0
c
n
, c
n-1
– cyfry liczby dwójkowej, przyjmujące wartości 0, 1
Wartość liczby binarnej w systemie dziesiętym:
L
=
c
n
−
1
⋅
2
−
1
+
c
n
−
2
⋅
2
−
2
+
⋅
⋅
⋅
+
c
1
⋅
2
+
c
0
⋅
2
0
39
n
n
1
Porównanie systemów P = 10 oraz P = 2:
System dziesiętny
P = 10
System dwójkowy
P = 2
0
0
1
1
2
1 0
3
1 1
4
100
5
101
6
110
7
111
8
1000
9
1001
10
1 0 1 0
11
1 0 1 1
12
1 1 0 0
13
1 1 0 1
14
1 1 1 0
15
1 1 1 1
16
10000
..........
..........
40
LICZBY NATURALNE (CAŁKOWITE DODATNIE)
10100
→
1
⋅
2
4
+ 0
⋅
2
3
+
1
⋅
2
2
+ 0
⋅
2
1
+ 0
⋅
2
0
= 16 + 4 = 20
4 3 2 1 0
n = 5
100101
→
1
⋅
2
5
+ 0
⋅
2
4
+ 0
⋅
2
3
+
1
⋅
2
2
+ 0
⋅
2
1
+
1
⋅
2
0
=
= 32 + 4 + 1 = 37
KONWERSJA LICZBY DZIESIĘTNEJ DO DWÓJKOWEJ:
(147)
10
= ( ? )
2
Reszta:
147 : 2 = 73
C
0
= 1
73 : 2 = 36
C
1
= 1
36 : 2 = 18
C
2
= 0
18 : 2 = 9
C
3
= 0
9 : 2 = 4
C
4
= 1
4 : 2 = 2
C
5
= 0
2 : 2 = 1
C
6
= 0
1 : 2 = 0
C
7
= 1
(147)
10
= (10010011)
2
10010011 = 1
⋅
2
7
+ 1
⋅
2
4
+ 1
⋅
2
1
+ 1
⋅
2
0
=
= 128 + 16 + 2 + 1 = 147
127
(10)
= 1111111
(2)
n = 7
243
(10)
=11110011
(2)
n = 8
11111111
(2)
=2
7
+ 2
6
+ 2
5
+2
4
+ 2
3
+ 2
2
+ 2
1
+ 2
0
=
= 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255
(10)
Zapis binarny prosty pozwala za pomocą n cyfr zapisywać licz-
by z zakresu:
0
≤
L
10
≤
2
n
– 1
Dla
n = 8
: 0
≤
L
10
≤
2
8
– 1 = 256 – 1 = 255
41
[ Pobierz całość w formacie PDF ]