SystemMMcN, Uniwersytet w Białymstoku.konspekty(informatyka), metody modelowania i symulacji
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
System M/M/c/N
System róŇni siħ od wyŇej omawianego tym, Ňe posiada
c
kanałów obsługi.
ńródła
zgłoszeı
Stanowiska
obsługi
1
1
2
2
kolejka
c
N
Rysunek 1 Przykład wielostanowiskowego systemu ze skoıczonym Ņródłem
Stany systemu:
H
0
– brak zgłoszeı w systemie, przestój systemu,
H
1
– jedno zgłoszenie w systemie (zgłoszenie jest obsługiwane),
H
2
– dwa zgłoszenia w systemie (dwa zgłoszenia sĢ obsługiwane),
…
H
c
–
c
zgłoszeı w systemie (
c
zgłoszeı jest obsługiwanych),
H
c
+1
–
c
+1 zgłoszeı w systemie (
c
zgłoszeı jest obsługiwanych i jedno czeka w
kolejce),
…
H
N
–
N
zgłoszeı w systemie (
c
zgłoszenie jest obsługowe i
N
–
c
czeka w kolejce).
Graf stanów:
…
…
H
0
µ
1
l
0
H
1
µ
2
l
1
µ
c
l
c
-1
H
c
µ
c+
1
l
c
µ
N
l
N-1
H
N
Za stanu
H
0
do stanu
H
1
zgłoszenia napływajĢ z intensywnoĻciĢ
l
=
N
l
, czyli kaŇde Ņródło
0
moŇe wysłaę zgłoszenie. W stanie
H
1
jedno Ņródło nie moŇe wysłaę kolejnego zgłoszenia
zatem intensywnoĻę napływu wynosi
l
=
(
N
−
1
l
. Analogicznie jest w kolejnych stanach,
1
wiħc
l
=
(
N
−
i
)
l
(
i
= 1, 2, …
N
– 1). IntensywnoĻę obsługi pojedynczego stanowiska
i
wynosi
µ
, zatem w stanach gdy kolejka jest pusta (od
H
0
do
H
c
) zgłoszenia bħdĢ obsługiwane
z intensywnoĻciĢ
µ
=
c
µ
(
i
= 1, 2, …,
c
). W stanach, w których zgłoszenia czekajĢ w kolejce
i
(od
H
c
+1
do
H
N
) intensywnoĻę obsługiwynosi
µ
=
c
µ
(
i
=
c
+1
c
+2, …,
N
).
i
Charakterystyki systemu:
Û
Prawdopodobieıstwa
stanów
systemu:
p
=
p
×
Q
(
i
=
1,
2,
…,
N
),
gdzie
i
0
i
i
c
c
N
!
r
N
!
−
Ä
Ô
i
Q
=
r
dla
i
= 0, 1, …,
c
, oraz
Q
=
dla
i
=
c
+ 1, …,
N
Æ
Ö
i
i
(
N
i
)!
(
N
−
i
)!
c
!
c
1
p
=
.
0
N
Ã
=
Q
k
0
Û
ĺrednia liczba zgłoszeı na stanowisku obsługi:
c
N
Ã
Ã
l
=
1
×
p
+
2
×
p
+
+
c
×
p
+
c
×
p
+
+
c
×
p
=
ip
+
cp
.
L
L
1
2
c
c
+
1
N
i
i
i
=
1
i
=
c
+
1
Û
ĺredni liczba zgłoszeı w kolejce:
N
Ã
+
v
=
1
×
p
+
2
×
p
+
L
+
(
N
−
c
)
×
p
=
(
i
−
c
)
p
.
c
+
1
c
+
2
N
i
i
=
c
1
c
N
Ã
Ã
Û
ĺrednia liczba zadaı w systemie:
.
n
=
1
p
+
2
p
+
L
+
N
p
=
ip
+
ip
=
v
+
l
×
×
×
1
2
N
i
i
i
=
1
i
=
c
+
1
Û
ĺrednia intensywnoĻę napływu zgłoszeı:
l
'
= l
(
N
−
n
)
.
v
w
=
Û
ĺredni czas pobytu zgłoszenia w kolejce:
.
l
'
1
Û
ĺredni czas obsługi zgłoszenia na stanowisku obsługi:
s
==
µ
Û
ĺredni czas pobytu zgłoszenia w systemie, czyli suma czasu pobytu zgłoszenia w
1
1
.
kolejce i czasu jego obsługi:
q
=
w
+
s
=
+
µ
1
Por. Walenty Oniszczuk: Metody modelowania, Politechnika Białostocka, Białystok 1995, s. 66 - 69
Por. Bogusław Filipowicz: Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych, Wydawnictwa Naukowo-
Techniczne, Warszawa 1996, s. 100 - 105
Przykład
Drukarki
W firmie sĢ 4 drukarki, z których moŇe korzystaę kaŇdy z 13 zatrudnionych
pracowników. Jedna osoba nie moŇe korzystaę jednoczeĻnie z obu drukarek. KaŇdy
pracownik Ļrednio co 2 minuty chce coĻ wydrukowaę. Jedna drukarka w ciĢgu godziny
„obsłuŇy” Ļrednio 100 pracowników. Pracownicy korzystajĢ z drukarek niezaleŇnie. Odstħpy
miħdzy
napływem
zgłoszeı
i
czasy
drukowania
moŇemy
przybliŇyę
rozkładowi
wykładniczemu. Jakie jest prawdopodobieıstwo, Ňe wszystkie drukarki bħdĢ zajħte? Jaka jest
Ļrednia liczba pracowników czekajĢcych na wydruk?
Û
ĺrednia intensywnoĻę napływu zgłoszeı od jednego pracownika wynosi
l
=
30
w
ciĢgu godziny, zaĻ Ļrednia intensywnoĻę obsługi
µ
= 100, zatem
r
=
0
.
13
Û
Prawdopodobieıstwo zajħtoĻci wszystkich drukarek:
Ã
=
p
=
p
=
0
4182
.
i
i
4
13
Ã
=
Û
ĺrednia liczba pracowników czekajĢcych na wydruk:
v
=
(
i
−
4
p
=
0
4751
.
i
i
5
ĺrednia liczba osób oczekujĢcych na wydruk jest niewielka, jednak
prawdopodobieıstwo zajħtoĻci wszystkich drukarek pokazuje, Ňe około 42% zgłoszeı zastaje
zajħte wszystkie drukarki. To doĻę duŇa liczba, wiħc firma powinna dokupię jeszcze jednĢ
drukarkħ, lub wymienię posiadane na szybsze.
Zadania
1.
Laboratorium komputerowe
W laboratorium komputerowym pewnej firmy stoi
c
komputerów, z których moŇe
korzystaę
N
pracowników. JeĻli wszystkie komputery sĢ zajħte to pracownik czeka w kolejce.
Sala jest otwarta przez 12 godzin. W ciĢgu godziny Ļrednio
n
osób chce skorzystaę z
komputera, zaĻ jedna osoba spħdza przy nim Ļrednio
m
minut. Oblicz ĻredniĢ intensywnoĻę
napływu zgłoszeı, ĻredniĢ liczbħ pracowników i Ļredni czas ich pobytu w laboratorium,
ĻredniĢ liczbħ zajħtych komputerów, ĻredniĢ długoĻę kolejki oraz Ļredni czas oczekiwania w
niej. Oblicz prawdopodobieıstwo, Ňe wszystkie komputery bħdĢ wolne oraz
prawdopodobie
ı
stwo,
Ň
e wszystkie b
ħ
d
Ģ
zaj
ħ
te. Jaka jest
Ļ
rednia liczba osób, która dziennie
skorzysta z komputera?
a)
c
= 10;
n
= 5;
m
= 60, 70, 80, 90, 100;
N
= 30;
b)
c
= 7;
n
= 20;
m
= 10, 20, 30, 40, 50;
N
= 50;
c)
c
= 5;
n
= 12, 13, 14, 15, 16;
m
= 15;
N
= 45;
d)
c
= 20;
n
= 20, 30, 40, 50, 55
m
= 15;
N
= 120;
e)
c
= 15;
n
= 15;
m
= 45;
N
= 20, 30, 40, 50, 60;
f)
c
= 8;
n
= 10;
m
= 35;
N
= 25, 27, 29, 31, 33;
g)
c
= 8, 10, 12, 14, 16;
n
= 23;
m
= 25;
N
= 25;
h)
c
= 10, 15, 20, 25, 30;
n
= 11;
m
= 18;
N
= 55;
Wyniki przedstaw na wykresach.
2.
Konserwatorzy
W pewnej firmie pracuje
c
konserwatorów, którzy naprawiajĢ i konserwujĢ
N
obrabiarek. Jedna maszyna Ļrednio
n
razy w tygodniu ulega awarii. Jeden pracownik w ciĢgu
tygodnia jest w stanie naprawię Ļrednio
m
maszyn. Obrabiarki psujĢ siħ niezaleŇnie od siebie.
Odstħpy czasu miħdzy kolejnymi awariami moŇna przybliŇyę rozkładowi wykładniczemu,
podobnie jak czasy napraw. Jakie jest prawdopodobieıstwo, Ňe wszyscy konserwatorzy sĢ
zajħci? Ile Ļrednio upływa czasu zanim zepsuta obrabiarka zostanie naprawiona? Jaka jest
Ļrednia liczba oczekujĢcych na naprawħ maszyn? Oblicz prawdopodobieıstwa stanów
systemu dla
N
= 10.
a)
c
= 2;
n
= 2;
m
= 3, 4, 5, 6, 7;
N
= 10;
b)
c
= 2;
n
= 2;
m
= 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5;
N
= 20;
c)
c
= 2;
n
= 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5;
m
= 1;
N
= 15;
d)
c
= 3;
n
= 0.3, 0.6, 0.9, 1, 1.3
m
= 2;
N
= 25;
e)
c
= 3;
n
= 0.5;
m
= 1.5;
N
= 8, 10, 12, 14, 16;
f)
c
= 4;
n
= 0.4;
m
= 2;
N
= 15, 17, 19, 21, 23;
g)
c
= 2, 3, 4, 5, 6;
n
= 1;
m
= 3;
N
= 30;
h)
c
= 3, 4, 5, 6, 7;
n
= 2;
m
= 6;
N
= 40;
Wyniki przedstaw na wykresach.
3.
Drukarki
W pewnej firmie stoi
c
drukarek, do której jest podłĢczonych
N
komputerów. ĺrednio
co
n
minut, któryĻ z komputerów zgłasza potrzebħ skorzystania z drukarki. Jedna sesja
drukowania
trwa Ļrednio
m
minut.
Oblicz
prawdopodobieıstwa
stanów
systemu,
prawdopodobieıstwo, Ňe przybyłe zgłoszenie nie zastanie wiħcej niŇ 2 zgłoszenia w kolejce,
Ļredni czasu pobytu zgłoszenia w kolejce i w systemie oraz Ļrednie liczy zadaı na
stanowiskach obsługi i w kolejce. Wyniki zilustruj na wykresach.
a)
c
= 2;
n
= 10, 11, 12, 13, 14;
m
= 0.5;
N
= 10;
b)
c
= 3;
n
= 5, 6, 7, 8, 9;
m
= 3;
N
= 20;
c)
c
= 2;
n
= 5.5;
m
= 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4;
N
= 12;
d)
c
= 3;
n
= 10
m
= 1, 2, 3, 4, 5;
N
= 15;
e)
c
= 4;
n
= 8;
m
= 1.2;
N
= 7, 9, 11, 13, 15;
f)
c
= 3;
n
= 10;
m
= 2.1;
N
= 5, 6, 7, 8, 10;
g)
c
= 5;
n
= 15;
m
= 1.5;
N
= 10, 12, 14, 16, 25;
[ Pobierz całość w formacie PDF ]